CERINŢE LOGICE ÎN FORMAREA NOŢIUNILOR ŞI DEFINIŢIILOR MATEMATICE

CERINŢE LOGICE ÎN FORMAREA
NOŢIUNILOR ŞI DEFINIŢIILOR MATEMATICE

Profesor Tocea Iulian, Şcoala Gimnazială Vlădila

Scopul lucrării de faţă este de a scoate în evidenţă importanţa cunoaşterii de către profesorul de matematică a unor cerinţe logice în formarea noţiunilor, de a arăta la ce greşeli se poate ajunge atunci când se trece cu uşurinţă peste unele probleme considerate elementare.
În întreg procesul gândirii se operează cu noţiuni. Noţiunea este o formă superioară de reflectare a realităţii. Cu ajutorul noţiunii, numeroase şi variate obiecte sunt grupate în clase, după caracterele lor comune. Aceste caractere constituie totodată trăsături esenţiale ale obiectului. Exemplu: în noţiunea geometrică de patrulater sunt reflectate însuşirile comune tuturor patrulaterelor şi care sunt esenţiale din punct de vedere geometric. Sunt însă însuşiri, cum ar fi: grosimea liniilor care formează patrulaterul, culoarea hârtiei pe care este desenat, care nu intră în conţinutul noţiunii. Un rol important în realizarea celor de mai sus îl joacă gândirea corectă care are însuşirea de a transmite adevărul mai departe. Această gândire este de fapt gândirea logică. Caracterul de adevăr în construcţia disciplinelor matematice este transmis de la propoziţii acceptate la teoreme. Afirmând acest lucru putem spune că matematica este o ştiinţă bazată pe o continuă activitate de creaţie. Activitatea de creaţie în matematică trebuie imbinată cu activitatea de exerciţiu şi educare a gândirii. Aceasta scoate în evidenţă caracterul profund uman al matematicii, dezvoltă gândirea şi capacitatea de a deprinde trăsături esenţiale. Gîndirea, în general, are următoarele procese principale: analiza, comparaţia, sinteza, generalizarea şi abstractizarea. Totalitatea însuşirilor esenţiale unei clase de obiecte, formează conţinutul noţiunilor. Conţinutul unei noţiuni matematice formează şi scoate în evidenţă proprietăţile esenţiale înţelegerii ei. Referindu-ne la noţiunea de paralelogram observăm că în conţinutul său intră următoarele însuşiri esenţiale: figura plană cu patru laturi având laturile opuse paralele, laturile opuse congruente, unghiurile alăturate aceleiaşi laturi suplementare, unghiurile opuse congruente, diagonalele se intersectează în părţi egale, două laturi opuse paralele şi congruente.
În cadrul aceleiaşi noţiuni, pot exista mai multe obiecte care au însuşirile noţiunii respective dar care poartă denumiri diferite. Astfel în noţiunea de paralelogram sunt cuprinse figuri geometrice care se bucură de proprietăţile paralelogramului dar care poartă altă denumire. Clasa de obiecte care posedă însuşirile ce sunt oglindite în conţinutul noţiunii formează sfera noţiunii. Respectând definiţia dată putem spune că în sfera noţiunii de paralelogram intră dreptunghiul, pătratul şi rombul. Analizând noţiunile de dreptunghi şi paralelogram, observăm că noţiunea de paralelogram are o sferă mai largă decât cea de dreptunghi, însă conţinutul noţiunii de dreptunghi este mai bogat decât conţinutul noţiunii de paralelogram.

Genul reprezintă noţiunea care cuprinde în sfera ei o altă noţiune. Noţiunea conţinută în sfera altei noţiuni constituie specia. Dreptunghiul constituie gen pentru pătrat, iar pătratul constituie specie pentru dreptunghi. Analizându-se raportul ce există între noţiunile gen şi specie, rezultă că toate notele genului sunt prezentate în specie, dar nu toate notele genului aparţin speciei.
Definiţia reprezintă acea formă logică la care se ajunge prin definire. Categoriile legate de definiţie sunt: genul, sfera, diferenţa specifică, propriul şi accidentul.Genul conţine însuşirile care aparţin tuturor lucrurilor de acelaşi fel. Sfera conţine însuşirile genului şi însuşirile ei specifice. Diferenţa specifică conţine numai însuşirile care deosebesc o specie de alte specii ale aceluiaşi gen. Propriul conţine însuşirile derivate direct din însuşirile speciei. Accidentul conţine însuşirile individuale.
Definiţia cuprinde în structura ei genul proxim şi diferenţa specifică, excluzând propriul şi accidentul. Definiţia cuprinde două parţi componente, noţiunea definitivă şi noţiunea care se defineşte. Noţiunea care se defineşte este compusă din genul proxim şi diferenţa specifică. Noţiunea definită şi noţiunea care se defineşte sunt cele două elemente structurale ale definiţiei. Revenind la exemplul anterior putem enunţa definiţia:  dreptunghiul este paralelogramul cu un unghi drept. Genul este exprimat prin cuvântul paralelogram, diferenţa specifică prin proprietatea de a avea un unghi drept, iar specia prin cuvântul dreptunghi. Prin această definiţie s-a exclus propriul (diagonalele egale, unghiuri congruente etc.) precum şi accidentul(dimensiunile, etc.).
Pe lângă cele arătate mai sus, o definiţie corectă trebuie să respecte anumite reguli: trebuie să fie adecvată noţiunii de definit, nu trebuie să formeze un cerc vicios, nu trebuie să fie negativă dacă ea poate să fie afirmativă, nu trebuie să se facă prin enumerare.
Există mai multe feluri de definiţii raportate la diferite clasificări. Clasificarea făcută de Aristotel cuprinde definiţii reale şi definiţii nominale. Definiţia nominală sau verbală arată sensul unui cuvânt, unui nume.Exemplu: cuvântul dreptunghi înseamnă paralelogramul cu un unghi drept. Definiţia reală arată însuşirile esenţiale, necesare ale lucrurilor şi ale fenomenelor. Exemplu: cilindrul este generat prin rotirea unui dreptunghi în jurul unei laturi.
În matematică se întrebuinţează frecvent definiţia genetică care arată modul cum se construieşte obiectul la care se raporta.
Exemplu: în geometrie uneori cercul este definit ca figura formată de un segment de dreaptă care se roteşte în plan în jurul uneia din extremităţi, alteori este definit ca figura obţinută prin secţionarea unui cilindru drept cu un plan paralele cu planul bazei. Ambele definiţii constituie exemple de definiţii genetice. Se poate afirma că definiţia genetică este o definiţie corectă, ea având atât gen proxim cât şi diferenţă specifică.
Dezvăluirea conţinutului unei noţiuni cu ajutorul genului proxim şi al diferenţei specifice este o cerinţă fundamentală şi nerespectarea ei duce la definiţii greşite. Deci, atunci când dăm o definiţie trebuie să avem în vedere genul proxim şi diferenţa specifică.
In continuare vom face câteva observaţii legate de supraabundenţa unor definiţii.
Încă din primele ore de geometrie, elevii trebuie învăţaţi să enunţe corect o definiţie. Uneori definiţiile sunt fie incorecte, fie supraabundente, fie greoaie. Dăm mai jos câteva exemple de definiţii frecvent întâlnite.
(D.1) Triunghiul isoscel este triunghiul cu două laturi congruente şi cu unghiurile de la bază congruente.
(D.2) Triunghiul isoscel este poligonul cu trei laturi care are două laturi congruente.
(D.3) Triunghiul echilateral este triunghiul isoscel cu un unghi de 600.
Referitor la definiţia (1) se observă că este supraabundentă, conţinând şi o proprietate a triunghiului isoscel care derivă din definiţia acestuia. Adică faptul că un triunghi este isoscel, permite demonstrarea proprietăţii că unghiurile alăturate bazei sunt congruente.
Definiţia (2) nu foloseşte genul proxim, adică cuprinde în ea şi definiţia triunghiului.
Definiţia (3) este o definiţie corectă, chiar dacă nu este cea clasică. Din această definiţie rezultă imediat că, unghiurile triunghiului echilateral sunt congruente şi laturile triunghiului echilateral sunt congruente. Alte definiţii frecvente utilizate de elevi sunt:
(D.4) Patrulaterul care are laturile opuse paralele şi congruente este un paralelogram.
(D.5) Paralelogramul care are toate unghiurile drepte este dreptunghi.
(D.6) Paralelogramul care are toate unghiurile drepte şi laturile congruente este pătrat.
Definiţiile (4), (5) şi (6) sunt supraabundente şi este necesar a se justifica elevilor acest lucru.
De exemplu, referitor la dreptunghi, genul proxim al acestuia este paralelogramul. Dreptunghiul, fiind un paralelogram, conservă toate proprietăţile acestuia. Diferenţa specifică este aceea că are un unghi drept. De aici, pe baza proprietăţilor paralelogramului, rezultă că toate unghiurile sunt drepte. De aceea, paralelogramul cu un unghi drept se numeşte dreptunghi, este o definiţie corectă.
Definiţia (6) permite iarăşi o posibilitate de a pune mai bine în evidenţă care este genul proxim şi diferenţa specifică. Genul proxim al pătratului poate fi dreptunghiul. Deci, trebuie văzut care este diferenţa specifică dintre dreptunghi şi pătrat. Pătratul are toate laturile congruente. Este necesar să spunem acest lucru? Evident că nu. A spune că are două laturi consecutive congruente constituie o definiţie corectă a pătratului. Este evident că se poate da definiţia pătratului astfel: rombul cu un unghi drept se numeşte pătrat.
Considerăm că este util ca aceste precizări şi comentarii să fie făcute de profesori cât mai frecvent posibil. Nu este lipsit de interes să se meargă mai departe cu aceste consideraţii.
De exemplu, luând ca definiţie a pătratului, dreptunghiul cu două laturi alăturate congruente, să se deducă proprietăţile specifice pătratului: (a) fiind dreptunghi are diagonalele congruente şi de aici rezultă că şi jumătăţile lor sunt congruente; (b) diagonalele pătratului sunt perpendiculare; (c) diagonalele pătratului sunt şi bisectoarele unghiurilor acestuia. Pornind de la definiţia: pătratul este rombul cu un unghi drept se pot obţine iarăşi aceleaşi proprietăţi. Fiind romb, diagonalele sunt perpendiculare, fiind şi bisectoarele unghiurilor. În plus, se poate arăta că sunt congruente.
În concluzie, enunţarea fiecărei definiţii trebuie însoţită de comentarii. Astfel este necesar să fie prezentate ( acolo unde este posibil) mai multe definiţii echivalente. Un prim exerciţiu este enunţarea unor definiţii greşite şi împreună cu elevii să se depisteze greşeala. Pornind de la definiţii, să fie deduse primele proprietăţi ale figurilor geometrice respective.
Un comentariu absolut necesar este legat de precizarea că, orice figură conservă proprietăţile genului său proxim şi să se pună în evidenţă diferenţele specifice. Odată deduse primele proprietăţi se impune prezentarea şi comentarea câtorva dintre definiţiile supraabundente, cele mai frecvente utilizate de elevi.

BIBLIOGRAFIE:
1. ENESCU, GH. , Fundamentele logice ale gândirii, Bucureşti, Editura Ştiinţifică şi Enciclopedică;
2. PETRICĂ, I. , Probleme de geometrie pentru gimnaziu, Bucureşti, Editura Petrion;
3. POPESCU, O. , Metodica predării geometriei în gimnaziu, Bucureşti, Editura Didactică şi Pedagogică;
4. SAFAREVICI, I.R. , Noţiunile fundamentale ale algebrei, Bucureşti, Editura Academiei Române;
5. VÎRTOPEANU, I. , Metodica predării matematicii; Sinteze, Craiova, Editura Sitech;