ASPECTE METODICE ALE APLICĂRII ÎN GEOMETRIE A NUMERELOR COMPLEXE ÎN LICEU

Colegiul de Industrie Alimentară ”Elena Doamna”, Galați
Catedra de matematică
Mironescu Aurora Olivia

ASPECTE METODICE ALE APLICĂRII ÎN GEOMETRIE A
NUMERELOR COMPLEXE ÎN LICEU

Studiul algebrei conduce succesiv la generalizarea noţiunii de număr. În clasele primare şi gimnaziale un elev studiază numerele naturale, apoi numerele raţionale pozitive.Contactul cu studiul algebrei îl conduce pe elev la studiul numerelor întregi negative şi apoi la cunoaşterea numerelor raţionale negative. Extinderea numerelor întregi s-a impus printre altele de necesitatea rezolvării unor ecuaţii, a determinării soluţiei. De exemplu ecuaţia 2x – 1 = 0 nuare soluţie în Z, dar are soluţie în Q.
Deşi bogată mulţimea numerelor raţionale, totuşi s-a impus completarea ei cu alte numere numite iraţionale ( ecuaţia x2 – 2 = 0 nu are soluţii raţionale, dar are soluţii iraţionale). Numerele raţionale şi iraţionale constituie mulţimea numerelor reale. Nici această ultimă mulţime nu poate acoperi gama diversă de probleme, în sensul că există ecuaţii care nu au soluţii în mulţimea numerelor reale. O ecuaţie simplă cu coeficienţi reali cum este x2 + 1 = 0 nu are rădăcini în R, deoarece nici un număr real nu poate avea pătratul negativ (-1). Se impune deci extinderea acestei mulţimi, de a generaliza noţiunea de număr real prin definirea unei mulţimi de numere mai bogată în care ecuaţia x2 + 1 = 0 să aibă soluţie. Aceasta este mulţimea numerelor complexe.
Numărul complex nu reprezintă rezultatul unei măsurători, cum este cazul unui număr real, dar, deşi are un caracter mai abstract, posedă multiple aplicaţii practice şi în domenii precum electrotehnica, telecomunicaţiile, mecanica, astronomia, fizica atomică etc. Numerele complexe se construiesc astfel încât să respecte aceleaşi reguli de calcul ca şi numerele reale.
Predarea noţiunii de număr complex se poate face în funcţie de profilul liceului, de numărul de ore alocat matematicii la profilul respectiv. Într-un fel se predă la matematică informatică, altfel la profilul tehnic sau servicii.
Matematică informatică, filiera reală
Se defineşte numărul complex ca pereche de numere reale.
Fie R mulţimea numerelor reale. Se reaminteşte produsul cartezian R R={ (a, b)/ a, b R}. Pe această mulţime se definesc două operaţii algebrice, adunarea şi înmulţirea.
1) Adunarea Fie z1 = (a,b), z2 = (c, d), z1, z2 R R. Suma celor două numere se defineşte astfel
z1+z2= (a + c, b + d) R R
2) Produsul Fie z1 = (a,b), z2 = (c, d), z1, z2 R R. Produsul celor două numere se defineşte astfel
z1z2=(ac - bd, ad + bc) R R
Se demonstrează că pe mulţimea R {0}adunarea şi înmulţirea se fac după aceleaşi reguli ca adunarea şi înmulţirea numerelor reale.
Ecuaţia x2 + 1 = 0 are soluţie în R R cu operaţiile definite mai sus.Elementul x = (0, 1) este soluţie a ecuaţiei.
x2 = (0, 1)(0, 1) = (0-1, 0 )=(-1, 0) care se identifică cu -1.Acest element se notează prin i(de la prima literă a cuvântului latin – imaginarius) şi se numeşte unitate imaginară. Deci i2 = -1.
Se calculează apoi produsul bi şi se defineşte forma algebrică a unui număr complex.
z =(a, b) R R se poate scrie z=(a, b)=(a,0)+(0, b)=a+bi. Aşadar C ={z = a +bi / a, b R}reprezintă mulţimea numerelor complexe.
Profilul tehnic, filiera tehnologică
La acest profil, se dă direct forma algebrică a numerelor complexe. În unele manuale, numărul i este prezentat astfel:
Axiomă: Există un număr i numit unitate imaginară, care are proprietatea i2 = -1.
Definiţie: Numerele de forma bi, unde b R* şi i2 = -1, se numesc numere imaginare.
Definiţie: Se numeşte număr complex un număr de forma z = a +bi, unde a, b R şi i2 = -1.
În con tinuare se dau operaţiile cu numere complexe, adunarea şi înmulţirrea, egalitatea numerelor complexe. Se definesc modulul şi conjugatul unui număr complex, se demonstrează proprietăţile lor; se rezolvă ecuaţiile de gradul doi cu coeficienţi reali, dar cu discriminant negativ, se folosesc relaţiile lui Viėte.
Reprezentarea geometrică a numerelor complexe
În ciuda fructuaselor rezultate obţinute în secolele XVII-XVIII, matematicienii au avut reţineri cu privire la utilizarea numerelor complexe. Îndoiala şi reţinerea au dispărut total odată cu descoperirea existenţei unei interpretări geometrice simple pentru numerele complexe şi anume reprezentarea acestora prin puncte în plan. Această afost dată, independent, de norvegianul Caspar Wessel (1797) şi elveţianul Jean Argaud (1806). Folosirea sistematică şi difuzarea reprezentării geometrice a numerelor complexe o datorăm lucrărilor lui Gauss (1777- 1855)
La lecţii, se dă interpretarea geometrică pentru adunarea şi scăderea numerelor complexe, pentru modulul şi conjugatul unui număr complex.
Numărul complex z = x +yi este bine determinat de două numere reale x, y, care pot fi gândite drept coordonatele unui punct M din planul P în care s-a fixat un sistem de coordonate xOy.
z = x + yi → M(x,y) P . M se numeşte imaginea geometrică a numărului complex z. Numărul complex z se numeşte afixul punctului M. Prin aceeaşi aplicaţie mulţimii numerelor reale îi corespunde axa Ox, iar mulţimii numerelor complexe pur imaginare îi corespunde axa Oy. Din aceste motive axa Ox se numeşte axa reală, iar axa Oy axa imaginară . Planul ale cărui puncte se identifică cu numerele complexe prin corespondenţa de mai sus se numeşte planul complex.
Interpretarea geometrică a modulului unui număr complex
z = x + yi → M(x,y) P. Dacă M’ este proiecţia lui M pe axa Ox, atunci din triunghiul dreptunghic OM’M, folosind teorema lui Pitagora, rezultă OM = , deci, modulul lui z este modulul vectorului de poziţie a imaginii geometrice a lui z..
y

M
M’’
y

O
x M’ x
Interpretarea geometrică a adunării a două numere complexe
Fie z1 = x1 + y1i , z2 = x2 + y2i şi z1+ z2 = (x1 +x2) + (y1 +y2)i. Considerăm vectorii de poziţie corespunzători numerelor z1 şi rspectiv z2. Ştim că vectorul sumei este vectorul , unde S este al patrulea vârf al paralelogramului, având celelalte vârfuri M1, O, M2. Deci sumei z1 + z2 îi corespunde punctul S din plan astfel ca O M1S M2 să fie paralelogram. În triunghiul OM1S inegalitatea triunghiului ne dă OS < OM1 + M1S, adică ׀ z1 + z2׀ < ׀ z1׀ + ׀ z2׀, cunoscuta inegalitate a lui Minkowski dedusă şi pe cale geometrică.
y

S(z1+z2)
M2(z2)
M1(z1)

O x

În continuare, se pot da interpretările geometrice ale numerelor complexe conjugate şi ale opusului unui număr complex, dar mai importantă mi se pare cea a scăderii a două numere complexe(are mai multe aplicaţii).Se demonstrează că
• Dacă M1(z1) şi M2 (z2) sunt două puncte în plan, atunci lungimea segmentului M1M2 este dată de relaţia M1M2 = ׀ z1 - z2׀.
La profilul matematică-informatică se poate da şi afixul punctului care împarte un segment într-un raport dat, dar la celelalte specializări numai cazurile particulare: mijlocul segmentului şi centrul de greutate.
În cazul în care acestei unităţi de învăţare îi sunt alocate mai multe ore, se pot rezolva şi următoarele două aplicaţii, mult utilizate în exerciţii:
Aplicaţia 1. Condiţia de coliniaritate a trei puncte Fie A(a), B(b), C(c) trei puncte în plan. Condiţia ca aceste puncte să fie coliniare se traduce în limbaj de vectori prin coliniaritatea vectorilor . Aceştia sunt coliniari astfel încât
Aplicaţia 2. Condiţia de paralelism a două drepte
Dacă A(a), B(b), C(c), D(d) sunt punctele în plan, atunci AB | | CD rezultat imediat deoarece sunt coliniari astfel încât
Metodele utilizate: explicaţia, conversaţia.Pentru fixarea cunoştiinţelor, se pot rezolva câteva aplicaţii, primele mai simple, celelalte pot fi mai complicate.
Probleme rezolvate:
1. Se consideră în planul complex punctele A(4 + i), B( 1 + 4i), C (1 +i). Să se demonstreze că triunghiul ABC este isoscel.
R. Se demonstrează că acest triunghi are două laturi de lungimi egale.
AB = ׀ 4 + i – (1 + 4i)׀ = ׀ 3 – 3i׀ = ,
AC = ׀4 + i – ( 1 + i)׀ = ׀ 3׀ = 3,
BC = ׀1 + 4i –(1 + i) | = | 3i | = 3
Este bine să se reprezinte in planul complex cele trei puncte, utilizând un reper cartezian xOy. Astfel se fixează şi interpretarea geometrică a numerelor complexe şi, de asemenea se vede din desn care laturi ale triunghiului sunt congruente.
A(4 + i) = A ( 4, 1), B( 1 + 4i) = B (1, 4), C (1 +i) =C (1, 1)
2. Să se arate că imaginile geometrice ale numerelor complexe z1 = -2 -5i, z2 = -1-2i, z3 = i sunt coliniare.
R. Se reprezintă geometric cele trei numere complexe z1→ A(-2, -5), z2 → B(-1, -2), z3 → C(0, 1)
Problema se poate rezolva prin două metode.
Metoda I Se demonstrează că AB +BC =AC. Într-adevăr AB = | z1 – z2 | =
AC = | z1 – z3 | = 2 , BC = |z2 –z3 | = .
Metoda II Se utilizează Aplicaţia 1 :
Se pot rezolva şi probleme de geometrie sintetică folosindu-se numerele complexe. Acest tip de probleme se poate propune elevilor mai buni la matematică, eventual, în cadrul unor pregătiri suplimentare în vederea paricipării la concursuri.
3. Se consideră patrulaterul convex ABCD, iar E, F mijloacele diagonalelor [AC] şi [BD]. Să se arate că are loc relaţia: AB2 + BC2 + CD2 +DA2 = AC2 + BD2 + 4EF2 (relaţia lui Euler).
R. Avem: zE = .Relaţia de demonstrat devine:
| zA -zB|2 + |zB - zC|2 + |zC - zD|2 + | zD - zA|2 = |zA-zC|2 + | zB -zD|2 +4|zE-zF|2.Ştim că |z|2 =z• . Folosind această relaţie, desfăcând parantezele, utilizând expresiile pentru zE şi zF, se demonstrează egalitatea.
Uneori, problemele de geometrie se rezolvă mai uşor utilizând numerele complexe, decât sintetic. Dar aceste probleme se pot face la profilul matematică informatică, pentru concursuri sau olimpiade.
În general, elevii înţeleg acest capitol, chiar dacă la început nu prea „simţeau” numerele complexe.
Bibliografie
Mircea Ganga, Matematica, manual pentru clasa aX-a, Editura Mathpress, Ploieşti, 2000